平面波入射到分层介质中

考虑平面波斜入射到一分层介质中，一共有$n+1$层分界面，从$0$开始计数，$0$代表入射开始的那一层和$n+1$是只有透射波。记第$l$个介质的介质参数为$\varepsilon_l,\mu_l$。

本文全为时谐场复数形式的平面波，时谐因子为$\exp-\mathrm{i}\omega t$，介质为线性均匀各向同性。

对平面波可将其分解为平面波TE极化和平面波TM极化的合成

连分公式推导

对平面波TE极化：

对第l个介质：
有向上传播的波，即被反射的波，以及向下传播的波，即$l-1$层的透射波。记上行波为$A$，下行波为$B$，总场

$$E_l = A_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{lz}z \right) + B_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx - \mathrm{i}k_{lz}z \right) \\$$

在第$l$分界面$z = z_l$有电场切向边界条件以及磁场切向边界条件：

$$\begin{cases} A_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{lz}z_l \right) + B_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx - \mathrm{i}k_{lz}z_l \right) = A_{l+1}\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{l+1z}z_l \right) + B_{l+1}\exp\left(\mathrm{i}k_xx - \mathrm{i}k_{l+1z}z_l \right) \\ A_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{lz}z_l \right) - B_l\exp\left(\mathrm{i}k_xx - \mathrm{i}k_{lz}z_l \right) = p_{l(l+1)}\left\lbrace A_{l+1}\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{l+1z}z_l \right) - B_{l+1}\exp\left(\mathrm{i}k_xx - \mathrm{i}k_{l+1z}z_l \right)\right\rbrace \\ \end{cases}$$

其中：

$$p_{l(l+1)} = \frac{\mu_l k_{l+1z}}{\mu_{l+1} k_l}$$

可以得到：

$$\frac{A_l}{B_l} = \frac{\exp(-\mathrm{i}2k_{lz}z_l)}{R_{l(l+1)}} + \frac{\left[1-(1/R_{l(l+1)}^2)\right]\exp[-\mathrm{i}2(k_{lz} + k_{l+1z})z_l]}{(1/R_{l(l+1)})\exp[-\mathrm{i}2k_{l+1z}z_l] + \frac{A_{l+1}}{B_{l+1}}}$$

当$l = n+1$不存在上行波：

$$\frac{A_{n+1}}{B_{n+1}} = 0$$

即可以一直推导至$\frac{A_0}{B_0}$。
同样的对于平面波TM极化也是如此。

单层介质板

考虑$n = 1$：

$$\frac{A_1}{B_1} = R_{12} \exp(-\mathrm{i}2k_{1z}z_1)$$

如果设第$0$层分界面的$z = 0$有：

$$\frac{A_0}{B_0} = \frac{R_{01} + R_{12}\exp(-\mathrm{i}2k_{1z}z_1)}{1 + R_{01}R_{12}\exp(-\mathrm{i}2k_{1z}z_1)}$$

更特殊，如果满足：

$$\begin{cases} R_{12} = R_{01} \\ 2k_1z_1 = (2m+1)\pi \end{cases}$$

有：

$$\frac{A_0}{B_0} = 0$$

即无反射波，此单层介质板为增透膜。

传播矩阵