平面波的斜入射

本文全为时谐场复数形式的平面波，时谐因子为$\exp-\mathrm{i}\omega t$，介质为线性均匀各向同性。

我的一个疑惑

在开始讨论之前，我一直有几个问题： 为什么对于电磁场的求解总是要区分为TE波和TM波的求解？而接下来中斜入射的电磁波也分为了TE波和TM波讨论，但是其分类却与波导中的分类在形式上有所不同，为什么呢？

一个不深入的理解（当时理解地不够深入）

感谢解惑。https://zhuanlan.zhihu.com/p/90249317

当平面波斜入射到一个介质平面上，波矢量$\vec{k}$与平面的法矢量$\hat{n}$会形成一个面$S_{\lambda}$，这个面称为
入射面。如果平面波的电场分量与入射面垂直，称为平面波TE极化，反之为TM极化。

注意此极化并非波的极化（线极化、圆极化等）
注意此TE并非TE波，是以入射面为背景的，如果将入射面看作$xoz$面，那和TE波确实有相似之处

一个较为完善的理解

一般而言，我们对电磁波的求解总是绕不开Maxwell Equation，在两个旋度方程中，我们可以看到，以直角坐标系为例子，电场、磁场总共六个分量是紧紧的联系在一起的。

而当我们在对时谐场形式的平面波进行求解时，平面波具有一特性：等相面。对平面波而言等相面垂直于波的传播方向(波矢量$\vec{k}$)，电磁场所有对平面波的等相面上方向的偏导数为0。一个例子：沿$z$轴传播的平面波，其对$x$的偏导数为0以及对$y$的偏导数为0。偏导数为零，就造成了Maxwell方程组中的两个旋度方程一定程度上的解耦合，例如$\frac{\partial}{\partial y} = 0$时，可解耦得到两组方程组：

$$\begin{cases} \frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{H_x}{\partial t} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} = -\frac{H_z}{\partial t} \\ \frac{\partial H_z}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial z} = \frac{E_y}{\partial t} \\ \end{cases}$$

此为其中之一，$E_y, H_x, H_z$是互相联系的三个分量，显而易见另一组的分量也就是为$H_y, E_x, E_z$，这两个三个分量的组是互不影响的，能够极大方便我们的求解，毕竟求解三个互相联系的量总比求解六个互相联系的量方便得多，最后的场就为TE和TM的线性叠加即可。这就是平面波分解为TE波和TM波的理论基础，这也是为什么对于电磁场的求解总是要区分为TE波和TM波，更准确地；来说是对于平面波的求解总是要区分为TE波和TM波。

考虑一组$E_y, H_x, H_z$，其中$E_y$可视作支配分量，记作TE波即横电波。为什么是横电波？这里有一个值得注意的点是，对于电磁场而言，方向的划分是由电磁波决定的。这里的横意味着垂直于电磁波的传播方向，而电意味着支配场量为横方向上的电场。

现在回答第二个问题：斜入射的电磁波也分为了TE波和TM波讨论，但是其分类却与波导中的分类在形式上有所不同，为什么呢？

回忆波导：对TE波，其$\frac{\partial}{\partial z} = 0$， 支配场量为$E_z$。等相面为$xoy$。

可以看出其实本质上是一样的。

这里最后引出一个问题，电磁波是横波，不能在传播方向上有振动，而回忆波导：我们似乎有结论波沿$z$轴传播，那么$z$轴上的分量应该为零才对呀。为什么能出现$E_z \neq 0$呢？

对于波导中的电磁波，我们不能以静态的观点看待：认为电磁波是沿着波导的方向传播的。实际上电磁波在波导中的是不断反射前进的，其传播方向时刻在变化，而从某一段足够长的时间去观察，可以发现整体的平均趋势就是我们假设的沿着波导的方向前进的即沿着$z$方向前进。

Snell定律

以入射面为$xoz$面，分界面的法式量为$z$轴，设分界面为$z=0$，入射角为$\theta_i$，反射角为$\theta_r$，透射角为$\theta_t$，入射介质为介质一参数$\varepsilon_1,mu_1$，投射介质为介质二。

那么对于介质1中的场为入射波和反射波的叠加：

$$\vec{E_1} = \vec{E_i}\exp\left(\mathrm{i}\vec{k_i}\cdot\vec{r}\right) + \vec{E_r}\exp\left(\mathrm{i}\vec{k_r}\cdot\vec{r}\right)$$

对于介质二中的场为透射波：

$$\vec{E_2} = \vec{E_t}\exp\left(\mathrm{i}\vec{k_t}\cdot\vec{r}\right)$$

可设入射波的波矢量

$$\vec{k_i} = \hat{x}k_{ix} + \hat{y}k_{iy} + \hat{z}k_{iz}$$

对反射波和透射波也同样处理。

在分界面$z=0$时，设入射波的切向分量为$E_i^{tan}$，对反射波和透射波也同样处理，则有边界条件中的电场的切向分量的相等我们有：

$$E_i^{tan}\exp\left(\mathrm{i}k_{ix}x + \mathrm{i}k_{iy}y\right) + E_r^{tan}\exp\left(\mathrm{i}k_{rx}x + \mathrm{i}k_{ry}y\right) = E_t^{tan}\exp\left(\mathrm{i}k_{tx}x + \mathrm{i}k_{ty}y\right)$$

振幅为常数，要使得上式成立，要有：

$$\begin{cases} k_{ix} = k_{rx} = k_{tx} \\ k_{iy} = k_{ry} = k_{ty} \\ \end{cases}$$

对波矢量的$x$分量，我们有：

$$\begin{cases} k_{ix} = \left|\vec{k_i}\right| \sin\theta_i \\ k_{rx} = \left|\vec{k_r}\right| \sin\theta_r \\ k_{tx} = \left|\vec{k_t}\right| \sin\theta_t \\ \end{cases}$$

而：$\left|\vec{k}\right| = \vec{k} \cdot \vec{k} = \mu\varepsilon\omega^2$，所以我们有：

$$\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}\sin\theta_i = \sqrt{\mu_1\varepsilon_1}\sin\theta_r = \sqrt{\mu_2\varepsilon_2}\sin\theta_t$$

最后得到Snell定律：

$$\begin{cases} \sin\theta_r = \sin\theta_i \\ \sin\theta_t = \frac{\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}}{\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}} \sin\theta_i = \frac{n_1}{n_2} \sin\theta_i \\ \end{cases}$$

如果$n_1 \gt n_2$，那么$[\frac{\pi}{2}, \theta_0) \subset \theta_t$，可能出现所有的入射光线将被反射，也就是说透射波也就是全反射现象。称使得$\theta_t = \frac{\pi}{2}$的入射角为临界角：

$$\theta_{ic} = \arcsin \frac{n_2}{n_1}$$

平面波TE/TM极化波

对平面波的TE极化：平面波的电场分量与入射面垂直。

设入射面为$xoz$面，那么电场只有$y$方向的分量，那么对于Maxwell方程，将其写成直角坐标系的形式，取旋度方程，在$E_z = 0, E_x = 0$下：

$$\begin{cases} -\frac{\partial E_y}{\partial z} = \mathrm{i}\mu\omega H_x \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} = \mathrm{i}\mu\omega H_z \\ \frac{H_x}{\partial z} - \frac{H_z}{\partial x} = -\mathrm{i}\varepsilon\omega E_y \end{cases}$$

可以看出磁场无$y$分量，整个电磁场有$E_y,H_x,H_z$分量，可以称$E_y$为支配分量。整个电磁场与$y$的变化无关即：$\frac{\partial}{\partial y} = 0$

同样的，对于平面波的TM极化：

$$\begin{cases} -\frac{\partial H_y}{\partial z} = -\mathrm{i}\mu\omega E_x \\ \frac{\partial H_y}{\partial x} = -\mathrm{i}\mu\omega E_z \\ \frac{E_x}{\partial z} - \frac{E_z}{\partial x} = \mathrm{i}\varepsilon\omega H_y \\ \end{cases}$$

可以看出电场无$y$分量，整个电磁场有$H_y,E_x,E_z$分量，可以称$H_y$为支配分量。整个电磁场与$y$的变化无关即：$\frac{\partial}{\partial y} = 0$

平面波TE/TM极化是在以入射面为背景下讨论的，可以看出这是一种特殊的定义，电/磁场分量垂直入射面。

Fresnel公式

这是在平面波TE/TM极化的前提下讨论的，设入射面为$xoz$面。对TE波：
入射波：

$$E_i(x, z) = E_i\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{iz} z\right)$$

反射波：

$$E_r(x, z) = E_r\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{rz} z\right)$$

反射波：

$$E_t(x, z) = E_t\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{tz} z\right)$$

因为：

$$k_x^2 + k_{iz}^2 = \mu_1\varepsilon_1 \omega^2 = k_x^2 + k_{rz}^2$$

就波矢量而言，在$z$方向上，入射波波矢量与反射波波矢量相反，所以

$$k_{rz} = -k_{iz}$$

分界面为$z = 0$，对于无源区$J_s = 0$，由边界条件，取出切向分量：

$$\begin{cases} E_{i} + E_{r} = E_t \\ H_{ix}(x, 0) + H_{rx}(x, 0) = H_{tx}(x, 0) \\ \end{cases}$$

而

$$H_{ix}(x, z) = -\frac{k_{iz}}{\mu_1\omega}E_i\exp\left(\mathrm{i}k_xx + \mathrm{i}k_{iz} z\right)$$

所以有：

$$\frac{k_{iz}}{\mu_1}E_i - \frac{k_{iz}}{\mu_1}E_r = \frac{k_{tz}}{\mu_2}E_t$$

解得：

$$\begin{cases} E_t = \frac{2}{1 + p} E_i = T E_i\\ E_r = \frac{1 - p}{1 + p} E_i = R E_i \\ \end{cases}$$

其中

$$p = \frac{\mu_1k_{tz}}{\mu_2k_{iz}}$$

$T$称为透射系数，$R$称为反射系数。

在全反射的情况下：

$$k_x^2 + k_{tz}^2 = \mu_2 \varepsilon_2 \omega^2 = \left|\vec{k_t}\right|^2 = \left|\vec{k_t}\right|^2\sin^2\theta_t + k_{tz}^2$$

所以

$$k_{tz}^2 < 0 \to k_{tz} = \mathrm{i} \alpha_0 \to p = \mathrm{i} p_0$$

则反射系数：

$$R = \frac{1 - \mathrm{i}p_0}{1 + \mathrm{i}p_0}$$

其模值为$|R| = 1$，幅角为$\varphi = -2\arctan p_0$，可表示为$R = \exp\mathrm{i}\varphi$。

对于透射波而言$k_{tz} = \mathrm{i} \alpha_0$，在$z$方向迅速衰减，只存在沿$x$方向传播的波。

对平面波TM极化，使用对偶关系：

$$\begin{cases} H \to -E \\ E \to H \\ \varepsilon \to \mu \\ \mu \to \varepsilon \end{cases}$$

即可求出

Brewster定律

比Snell定律和Fresnel公式更特殊的场景，考虑非磁性介质，$\mu_1 = \mu_2 = \mu_0$，之前讨论过全反射现象，那么会不会有全透射现象呢？在非磁性介质中平面波的TE极化不可能使得$R = 0$

考虑平面波TM极化

$$R = \frac{1 - p_0}{1 + p_0}$$ $$p = \frac{\varepsilon_1k_{tz}}{\varepsilon_2k_{iz}}$$

令$R = 0$有

$$\begin{aligned} \varepsilon_1 k_{tz} &= \varepsilon_2 k_{iz} \\ \cos \theta_t \varepsilon_1 k_t &= \cos \theta_i \varepsilon_2 k_i \\ \cos \theta_t \varepsilon_1 \sqrt{\varepsilon_2} &= \cos \theta_i \varepsilon_2 \sqrt{\varepsilon_1} \\ \frac{\cos \theta_i}{\cos \theta_t} &= \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}} = \frac{n_1}{n_2} \\ \end{aligned}$$

而由Snell定律：

$$\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_t} = \frac{n_2}{n_1}$$

有：

$$\begin{aligned} \cos \theta_i \sin \theta_i = \cos \theta_t \sin \theta_t \\ \end{aligned}$$

要使得上式成立有$\theta_i = \theta_t$或者$\theta_t = \frac{\pi}{2} - \theta_i$，又两侧是不同的介质不可能$\theta_i = \theta_t$。
得到：

$$\tan \theta_i = \frac{n_2}{n_1}$$