时谐场均匀平面电磁波

平面波是指其等相面是一平面的波。

均匀平面波是指等相面内各点的振幅相等。

讨论空间设定介质全为均匀、线性、各向同性的介质。

本文都以时谐场的复数形式表示。

均匀平面电磁波表达式的获得

讨论方便，设定均匀平面电磁波的等相面为xoy面，即电磁波沿$z$轴传播。对无源区$\vec{J_s} = 0$，有波动方程：

$$\begin{cases} \nabla^2 \vec{E}(\vec{r}) + k^2 \vec{E}(\vec{r}) = 0 \\ \nabla^2 \vec{H}(\vec{r}) + k^2 \vec{H}(\vec{r}) = 0 \\ \end{cases}$$

这里消去了时谐因子$\exp(-\mathrm{i} \omega t)$。这里$k^2 = \mu \varepsilon \omega^2$，注意这里的介电系数为复数介电系数。

设电场为$\vec{E}(\vec{r}) = \hat{x}E_x(\vec{r}) + \hat{y}E_y(\vec{r}) + \hat{z}E_z(\vec{r}) $

因为等相面为xoy面，则电磁波关于$x$和$y$的偏导为0。则对于电场波动方程有：

$$\begin{aligned} \nabla^2 \vec{E}(\vec{r}) + k^2 \vec{E}(\vec{r}) = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial^2 \vec{E}(z)}{\partial z^2} + k^2 \vec{E}(z) = 0 \\ \end{aligned}$$

而且观察散度方程，无源区有：

$$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E}(\vec{r}) = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial {E_x}(z)}{\partial x} + \frac{\partial {E_y}(z)}{\partial y} + \frac{\partial {E_z}(z)}{\partial z} = 0 \\ \Rightarrow \frac{\partial {E_z}(z)}{\partial z} = 0 \\ \Rightarrow {E_z}(z) = C = 0 \text{（电场必须为时谐场）} \\ \end{aligned}$$

所以电场的波动方程为：

$$\begin{cases} \frac{\partial^2 E_x(z)}{\partial z^2} + k^2 E_x(z) = 0 \\ \frac{\partial^2 E_y(z)}{\partial z^2} + k^2 E_y(z) = 0 \\ \end{cases}$$

其解为：

$$\begin{cases} E_x(z) = C_1 \exp(\mathrm{i}kz) + C_2 \exp(-\mathrm{i}kz) \\ E_y(z) = C_3 \exp(\mathrm{i}kz) + C_4 \exp(-\mathrm{i}kz) \\ \end{cases}$$

所以是两列波的合成，一列向$z$轴的负方向传播，一列向$z$轴的正方向传播。

更一般地，如果均匀平面波是沿方向$\hat{k}$传播的，其解为：

$$\vec{E}(\vec{r}) = C_1 \exp(\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{r}) + C_2 \exp(-\mathrm{i}\vec{k}\cdot\vec{r})$$

$\vec{k} = |\vec{k}| \cdot \hat{k}$，其中在无色散介质中：$\vec{k} \cdot \vec{k} = k^2 = \mu \varepsilon \omega^2$。

注意k为一数值，称为波数，而$\vec{k}$称为波矢量，两者意义不一样，仅在数值上有联系。

平面波在无耗以及有耗介质中的传播

并不是均匀的波，它和均匀平面波的差异在于多了振幅的差异，所以可以套用上面推出来的解

考虑波矢量为一复向量：$\vec{k}=\vec{k_R}+\mathrm{i}\vec{k_I}$平面波的解形式为：

$$\vec{E}(\vec{r}) = C_1 \exp(\vec{-k_I}\cdot\vec{r}) \exp(\mathrm{i}\vec{k_R}\cdot\vec{r})$$

在这里实部向量代表了波的相位传播，虚部向量代表了波的振幅衰减。
这里只列出了向$-z$方向传播的波呢，因为向$+z$方向传播的波的虚部向量要取一个负号（为什么呢）

$$\vec{k} \cdot \vec{k} = k_{R}^2 - k_{I}^2 + \mathrm{i}2\vec{k_{R}} \cdot \vec{k_{I}}$$

对于无耗介质：

$$k_{R}^2 - k_{I}^2 + \mathrm{i}2\vec{k_{R}} \cdot \vec{k_{I}} = \mu \varepsilon \omega^2$$

有：

$$\begin{cases} k_{R}^2 - k_{I}^2 = \mu \varepsilon \omega^2 \\ \vec{k_{R}} \cdot \vec{k_{I}} = 0 \\ \end{cases}$$

所以对于无耗介质而言，波的相位传播方向和波的波的振幅衰减方向互相垂直，特别的，对于真空中的电磁波的传播$k_{I} = 0$。

对于有耗介质：

有耗介质的介电系数为虚部不为0的复介电系数$\varepsilon = \varepsilon^{‘} + \frac{\mathrm{i} \sigma}{\omega}$。

$$k_{R}^2 - k_{I}^2 + \mathrm{i}2\vec{k_{R}} \cdot \vec{k_{I}} = \mu \varepsilon^{'} \omega^2 + \mathrm{i}\mu \sigma \omega$$

如果$\vec{k_R} \parallel \vec{k_I}$，可以解出：

$$\begin{cases} k_{R}^2 = \\ k_{I}^2 = \\ \end{cases}$$

在$\vec{k_R} \parallel \vec{k_I}$下，衰减方向与相位的传播方向同向，在以$e$为底的指数衰减下，电磁波很快衰减，定义衰减深度（电磁波的幅值$C_1$衰减到$C_1e^{-1}$）：

$$d_p = \frac{1}{|k_I|}$$

相速度和群速度

顾名思义，相速度为相位的传播速度，为单位时间内相位传播的距离，仅考虑平面波向$-z$方向传播，带上时谐因子，得到：

$$\vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \exp(\vec{-k_I}\cdot\vec{r}) \exp\left\lbrace\mathrm{i}\left[\vec{k_R}\cdot\vec{r} - \omega t\right]\right\rbrace$$

相速度：

$$v_{phase} = v_p = \frac{\omega}{|\vec{k_R}|}$$

为方便讨论记：$|\vec{k_R}| = k_R , |\vec{k_I}| = k_I $

$$v_p = \frac{\omega}{k_R}$$

群速度

群速度指包络的传播速度（振幅的传播速度？）

群速度是对于一簇信号而言的，如携带多个频率成分的窄带信号。
比如两个传播方向相同，振幅相同的平面波频率为$\omega_1,\omega_2$（同时也对应两个方向相同，模值不同的波矢量）其合成：

$$\vec{E}(\vec{r}) = 2 E_0 \cos(\Delta \vec{k} \cdot \vec{r} - \Delta\omega t) \exp\left\lbrace\mathrm{i}\left[\vec{k_0}\cdot\vec{r}- \omega_0 t\right]\right\rbrace$$

其中：

$$\begin{aligned} \Delta \vec{k} = \frac{\vec{k_1} - \vec{k_2}}{2} \\ \vec{k_0} = \frac{\vec{k_1} + \vec{k_2}}{2} \end{aligned}$$

$\omega$同理，这里略去了对振幅衰减项的考虑，因为没必要。
所以群速度为：

$$v_{group} = v_g = \frac{\Delta\omega}{\Delta k} = \frac{1}{\frac{\Delta k}{\Delta\omega}}$$

为方便讨论记：$|\Delta \vec{k}| = \Delta k $

如果${\Delta\omega}$很小

$$v_g = \frac{1}{\left.\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{d}\omega}\right|_{\omega = \omega_0}}$$

平面波的色散现象

色散现象：物理性质随频率的改变而改变。如：三棱镜对不同频率的波有不同的折射率。

对等离子体，其介电系数与频率有关，有模型：

$$\varepsilon_{\mathrm{plasma}}(\omega) = \varepsilon_0 \left(1 - \frac{\omega^2_p}{\omega^2}\right)$$

相速度：

$$v_p = \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{\omega^2_p}{\omega^2}}}$$

群速度：

$$v_g = c\sqrt{1 - \frac{\omega^2_p}{\omega^2}}$$

以上结论是在平面波频率大于等离子体频率$\omega_p$时得出的，当小于时，波矢量只有虚部，为一衰减波，无法传播。