时谐场

随时间正、余弦变化电磁场是时变电磁场中最简单、最基本的时变场，被称为时谐场。表示为：

$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}(\vec{r}) \cos(\varphi(\vec{r}) - \omega t)) = \mathrm{Re} \left\{\vec{E}(\vec{r})\exp\left[\mathrm{i}(\varphi(\vec{r}) - \omega t)\right] \right\}$$

这里假定了空间某一位置中的初相位相同，可以理解为$\varphi_x(\vec{r}) = \varphi_y(\vec{r}) = \varphi_z(\vec{r}) = \varphi(\vec{r})$

某些书上会在振幅那多乘一个$\sqrt{2}$，这是由于其使用的振幅模值是有效值，这里没有乘$\sqrt{2}$，用的振幅模值为最大值。

更一般的，时谐场的复数表示形式为：

$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}(\vec{r}) \exp (-\mathrm{i}\omega t)$$

这里把初始相位也并入到$\vec{E}(\vec{r})$中，称其为复数相位，$ \exp (-\mathrm{i}\omega t)$为时谐因子。实际上的场为其取实部后的结果。本文都以时谐场的复数形式表示。

时谐场的Maxwell方程

注意到时谐场中，仅有时谐因子与时间相关，所以对时谐场求关于时间的一阶导数，可以写为:：

$$\frac{\partial \vec{E}(\vec{r},t)}{\partial t} = -\mathrm{i} \omega \vec{E}(\vec{r},t)$$

所以在时谐场中，有如下算子对应关系：$\frac{\partial}{\partial t} \to -\mathrm{i} \omega$则Maxwell方程可以变为：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E}(\vec{r},t) = \mathrm{i} \omega \vec{B}(\vec{r},t)\\ \nabla \times \vec{H}(\vec{r},t) = -\mathrm{i} \omega \vec{D}(\vec{r},t) + \vec{J}(\vec{r},t) \\ \nabla \cdot \vec{B}(\vec{r},t) = 0 \\ \nabla \cdot \vec{D}(\vec{r},t) = \rho \\ \end{cases}$$

时谐场的波动方程：

$$\nabla^{2} \vec{E}(\vec{r},t) + \mu \varepsilon \omega^2 \vec{E}(\vec{r},t) + \mathrm{i} \mu \omega \vec{J}(\vec{r},t) - \nabla\frac{\rho}{\varepsilon} = 0$$

考虑$\vec{J}(\vec{r},t) = \sigma \vec{E}(\vec{r},t) + \vec{J_s}(\vec{r},t)$得到

$$\nabla^{2} \vec{E}(\vec{r},t) + \mu \omega^2 (\varepsilon + \frac{\mathrm{i} \sigma}{\omega}) \vec{E}(\vec{r},t) + \mathrm{i} \mu \omega \vec{J_s}(\vec{r},t) - \nabla\frac{\rho}{\varepsilon} = 0$$

在时谐场中可引入复数介电系数：

$$\varepsilon_c = \varepsilon^{'} + \frac{\mathrm{i} \sigma}{\omega} = \left(\varepsilon^{'} + \mathrm{i} \varepsilon^{''}\right)$$

本文以后$\varepsilon$全为复数介电系数。面电流全为外加源。

真空中的时谐场波动方程：

$$\nabla^{2} \vec{E} + \mu \varepsilon \omega^2 \vec{E} = 0$$

此为赫姆霍兹方程。

复坡印廷定理

能量密度的定义为：

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$$

对时谐场而言：

$$\begin{aligned} \vec{S}(\vec{r},t) &= \vec{E}(\vec{r},t) \times \vec{H}(\vec{r},t) \\ &= \mathrm{Re}\left\{\vec{E}(\vec{r}) \exp (-\mathrm{i}\omega t) \times \vec{H}(\vec{r}) \exp (-\mathrm{i}\omega t)\right\} \\ \end{aligned}$$

又：

$$\mathrm{Re}\left\{\vec{E}(\vec{r}) \exp (-\mathrm{i}\omega t)\right\} = 0.5\left[\vec{E}(\vec{r}) \exp (-\mathrm{i}\omega t) + \vec{E^\ast}(\vec{r}) \exp (\mathrm{i}\omega t)\right]$$

得：

$$\vec{S}(\vec{r},t) = \frac{1}{2} \mathrm{Re}\left\lbrace\vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H^\ast}(\vec{r}) \right\rbrace + \frac{1}{2} \mathrm{Re}\left\{\vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H}(\vec{r}) \exp(-2 \mathrm{i}\omega t) \right\}$$

定义右边第一项为复数坡印廷矢量（与时间无关）：

$$\vec{S_c}(\vec{r}) = \frac{1}{2} \vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H^\ast}(\vec{r})$$

显而易见，在一个时间周期内$\frac{1}{2} \mathrm{Re}\left\lbrace\vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H}(\vec{r}) \exp(-2 \mathrm{i}\omega t) \right\rbrace$的积分为0，而$\vec{S_c}(\vec{r})$与时间无关，所以能流密度的周期平均值为：

$$\vec{S_a}(\vec{r}, t) = \mathrm{Re} \left\{\vec{S_c}(\vec{r})\right\}$$

电磁场能量密度的定义为：

$$W = \frac{1}{2} \left(\vec{H} \cdot \vec{B} + \vec{E} \cdot \vec{D}\right)$$

类似与上式的推导，有复数电磁场能量密度为：

$$W_c(\vec{r}) = \frac{1}{2} \left[\vec{H}(\vec{r}) \cdot \vec{B^\ast}(\vec{r}) + \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{D^\ast}(\vec{r}) \right]$$

平均能量密度为：

$$W_a(\vec{r}) = \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left\{W_c(\vec{r})\right\}$$

类似的，复数电场能量密度：

$$W_{e,c}(\vec{r}) = \frac{1}{2} \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{D^\ast}(\vec{r})$$

电场平均能量密度为：

$$W_{e,a}(\vec{r}) = \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left\{W_{e,c}(\vec{r})\right\}$$

时谐场的Maxwell方程为：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E}(\vec{r},t) = \mathrm{i} \omega \vec{B}(\vec{r},t)\\ \nabla \times \vec{H}(\vec{r},t) = -\mathrm{i} \omega \vec{D}(\vec{r},t) + \vec{J}(\vec{r},t) \\ \nabla \cdot \vec{B}(\vec{r},t) = 0 \\ \nabla \cdot \vec{D}(\vec{r},t) = \rho \\ \end{cases}$$

又因为时谐场与时间有关的项为$\exp(-\mathrm{i}\omega t)$，这个方程组可以消去时间项，变为：

$$\begin{cases} \nabla \times \vec{E}(\vec{r}) = \mathrm{i} \omega \vec{B}(\vec{r})\\ \nabla \times \vec{H}(\vec{r}) = -\mathrm{i} \omega \vec{D}(\vec{r}) + \vec{J}(\vec{r}) \\ \nabla \cdot \vec{B}(\vec{r}) = 0 \\ \nabla \cdot \vec{D}(\vec{r}) = \rho \\ \end{cases}$$

对上式类似于基本理论那处理一般，对第一个旋度方程左乘$\vec{H^\ast}(\vec{r})$，对第二个旋度方程取共轭后左乘$\vec{E}(\vec{r})$。
得到：

$$\nabla \cdot \left[\vec{E}(\vec{r}) \times \vec{H^\ast}(\vec{r})\right] = \frac{1}{2} \mathrm{i} \omega \vec{H^\ast}(\vec{r}) \cdot \vec{B}(\vec{r}) - \frac{1}{2} \mathrm{i} \omega \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{D^\ast}(\vec{r}) - \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r})$$

等价于

$$\nabla \cdot \vec{S_c}(\vec{r}) - \frac{1}{2}\mathrm{i} \omega \left[\vec{H^\ast}(\vec{r}) \cdot \vec{B}(\vec{r}) - \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{D^\ast}(\vec{r})\right] + \frac{1}{2}\vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r}) = 0 \\ \nabla \cdot \vec{S_c}(\vec{r}) - \frac{1}{2} \mathrm{i} \omega \left[\mu^{'} |\vec{H}(\vec{r})|^2 - \mathrm{i} \mu^{''} |\vec{H}(\vec{r})|^2 - \vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{D^\ast}(\vec{r})\right] + \frac{1}{2}\vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r}) = 0$$

这里和电场一样引入了复数磁导率$\mu = \mu^{‘} + \mathrm{i} \mu^{‘’} $
将其分解为实部和虚部，对实部：

$$\begin{aligned} \mathrm{Re} \left\{\nabla \cdot \vec{S_c}(\vec{r}) + \frac{1}{2}\vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r})\right\} + \frac{\omega}{2} \mu^{''} |\vec{H}(\vec{r})|^2 - \frac{\omega}{2} \varepsilon^{''} |\vec{E}(\vec{r})|^2 = 0 \\ \nabla \cdot \vec{S_a}(\vec{r}) + \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left\{\vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r})\right\} + \omega L = 0 \\ \end{aligned}$$

其中$L = \frac{1}{2} \mu^{‘’} |\vec{H}(\vec{r})|^2 - \frac{1}{2} \varepsilon^{‘’} |\vec{E}(\vec{r})|^2$

这说明流出的能流与外加源做的功与介质的损耗的和为0。

对虚部：

$$\begin{aligned} \mathrm{Im} \left\{\nabla \cdot \vec{S_c}(\vec{r}) + \frac{1}{2}\vec{E}(\vec{r}) \cdot \vec{J^\ast}(\vec{r})\right\} - \frac{\omega}{2} \mu^{'} |\vec{H}(\vec{r})|^2 + \frac{\omega}{2} \varepsilon^{'} |\vec{E}(\vec{r})|^2 = 0 \end{aligned}$$

这是能量互相转化的部分。